Processing math: 100%

Likformiga trianglar

Definition

Två trianglar är likformiga om motsvarande vinklar är lika stora och om förhållandet mellan motsvarande sidor är konstant. Att trianglarna ABC och DEF är likformiga skrivs

ABC∼△DEF.

Skillnaden mellan likformiga och kongruenta trianglar är att likformiga trianglar inte behöver vara lika stora.

kongruens       samma form & samma storlek

likformighet       samma form

Transversalsatsen

Interaktiv hjälp för att bevisa transversalsatsen.

En transversal är en linje som skär två eller flera linjer.

Sats: En transversal som är parallell med en av sidorna i en triangel, delar de båda övriga sidorna i samma förhållande.

Bevis: Allt du behöver veta för att utföra beviset är att arean av en triangel ges av A=bh2

där b är bredden och h är höjden i triangeln. Jämför tre areor med varandra!

  1. Gör en triangel poly1=△AED och en triangel poly2=△BED. Låt poly1 och poly2 beteckna trianglarnas areor. Vad är förhållandet mellan poly1 och poly2? Motivera ditt svar!

  2. Gör en triangel poly3=△DEC. Vad är förhållandet mellan poly3 och poly1? Motivera ditt svar!

  3. Vad är förhållandet mellan poly3 och poly2? Motivera ditt svar!

  4. Visa att ab=ABDE!

Topptriangelsatsen

Som en följdsats till transversalsatsen får man:

Topptriangelsatsen: En transversal som är parallell med en sida i en triangel, avskär en topptriangel som är likformig med den ursprungliga triangeln.

Bevis, Topptriangelsatsen:

Visa först att motsvarande vinklar i de två trianglarna är lika (kongruenta).

Visa sedan att a+ba=c+dc

Drag ännu en parallelltransversal

help proof

och visa sedan att a+ba=c+dc=ABDE

Tre fall som ger likformighet

Första likformighetsfallet, sida-vinkel-sida (SVS) Om två sidor i en triangel är proportionella mot två sidor i en annan triangel och om mellanliggande vinklar är lika stora, så är trianglarna likformiga.

similarity 1

Bevis

similarity 1

Placera punkten G så att AG=DE.
Drag GH så att GH blir parallell med BC.

Nu gäller det att AGH∼△ABC.

Visa att AH=DF!

Då blir AGH≅△DEF enligt kongruensfallet sida-vinkel-sida och beviset är klart.

Bevisen för de andra två fallen är snarlika.

Andra likformighetsfallet, sida-sida-sida (SSS) Om de tre sidorna i en triangel är proportionella mot sidorna i en annan triangel så är trianglarna likformiga.

Tredje likformighetsfallet, vinkel-vinkel-vinkel (VV) Om vinklarna i en triangel är lika med motsvarande vinklar i en annan triangel så är trianglarna likformiga.
Observera att det räcker att två vinklar är lika (varför?).

Bisektrissatsen

Linjen genom C är parallell med AB.

Sats: I triangeln ABC dras en bisektris vid B. Bisektrisen skär AC vid en punkt D. Enligt bisektrissatsen är:

ABAD=BCCD

Bevis: Dra en linje parallell med AB genom C. Låt E vara skärningspunkten mellan den nya linjen och bisektrisen. Förklara varför:

  1. ABD=CED

  2. triangeln BCE är en likbent triangel, och således varför BC=CE.

  3. BDA=CDE

  4. ABD∼△CED

  5. ABAD=CECD

  6. ABAD=BCCD

Övningar

Övning 1

Höjder i trianglar

AC är parallell med EF. AB är parallell med DF. Höjderna h, h1, h2 och h3 är de vinkelräta höjderna i respektive triangel. Bevisa det du ser!

Övning 2

Mittpunkter på fyrhörning

De blå punkterna är mittpunkter på respektive sida. Bevisa det du ser!

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se