Likformiga trianglar
Definition
Två trianglar är likformiga om motsvarande vinklar är lika stora och om förhållandet mellan motsvarande sidor är konstant. Att trianglarna △ABC och △DEF är likformiga skrivs
△ABC∼△DEF.Skillnaden mellan likformiga och kongruenta trianglar är att likformiga trianglar inte behöver vara lika stora.
≅ kongruens samma form & samma storlek
∼ likformighet samma form
Transversalsatsen
En transversal är en linje som skär två eller flera linjer.
Sats: En transversal som är parallell med en av sidorna i en triangel, delar de båda övriga sidorna i samma förhållande.
Bevis: Allt du behöver veta för att utföra beviset är att arean av en triangel ges av A=b⋅h2
där b är bredden och h är höjden i triangeln. Jämför tre areor med varandra!
Gör en triangel poly1=△AED och en triangel poly2=△BED. Låt poly1 och poly2 beteckna trianglarnas areor. Vad är förhållandet mellan poly1 och poly2? Motivera ditt svar!
Gör en triangel poly3=△DEC. Vad är förhållandet mellan poly3 och poly1? Motivera ditt svar!
Vad är förhållandet mellan poly3 och poly2? Motivera ditt svar!
Visa att ab=ABDE!
Topptriangelsatsen
Som en följdsats till transversalsatsen får man:
Topptriangelsatsen: En transversal som är parallell med en sida i en triangel, avskär en topptriangel som är likformig med den ursprungliga triangeln.
Bevis, Topptriangelsatsen:
Visa först att motsvarande vinklar i de två trianglarna är lika (kongruenta).
Visa sedan att a+ba=c+dc
Drag ännu en parallelltransversal
och visa sedan att a+ba=c+dc=ABDE
Tre fall som ger likformighet
Första likformighetsfallet, sida-vinkel-sida (SVS) Om två sidor i en triangel är proportionella mot två sidor i en annan triangel och om mellanliggande vinklar är lika stora, så är trianglarna likformiga.
Bevis
Placera punkten G så att AG=DE.
Drag GH så att GH blir parallell med BC.
Nu gäller det att △AGH∼△ABC.
Visa att AH=DF!
Då blir △AGH≅△DEF enligt kongruensfallet sida-vinkel-sida och beviset är klart.
Bevisen för de andra två fallen är snarlika.
Andra likformighetsfallet, sida-sida-sida (SSS) Om de tre sidorna i en triangel är proportionella mot sidorna i en annan triangel så är trianglarna likformiga.
Tredje likformighetsfallet, vinkel-vinkel-vinkel (VV) Om vinklarna
i en triangel är lika med motsvarande vinklar i en annan triangel så
är trianglarna likformiga.
Observera att det räcker att två vinklar är
lika (varför?).
Bisektrissatsen
Sats: I triangeln △ABC dras en bisektris vid B. Bisektrisen skär AC vid en punkt D. Enligt bisektrissatsen är:
ABAD=BCCD
Bevis: Dra en linje parallell med AB genom C. Låt E vara skärningspunkten mellan den nya linjen och bisektrisen. Förklara varför:
∠ABD=∠CED
triangeln △BCE är en likbent triangel, och således varför BC=CE.
∠BDA=∠CDE
△ABD∼△CED
ABAD=CECD
ABAD=BCCD
Övningar
Övning 1
Höjder i trianglar
AC är parallell med EF. AB är parallell med DF. Höjderna h, h1, h2 och h3 är de vinkelräta höjderna i respektive triangel. Bevisa det du ser!
Övning 2
Mittpunkter på fyrhörning
De blå punkterna är mittpunkter på respektive sida. Bevisa det du ser!
by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License