Likformiga trianglar

Definition

Två trianglar är likformiga om motsvarande vinklar är lika stora och om förhållandet mellan motsvarande sidor är konstant. Att trianglarna $\bigtriangleup ABC$ och $\bigtriangleup DEF$ är likformiga skrivs

Skillnaden mellan likformiga och kongruenta trianglar är att likformiga trianglar inte behöver vara lika stora.

Transversalsatsen

Ladda GeoGebra-arbetsblad

En transversal är en linje som skär två eller flera linjer.

Sats: En transversal som är parallell med en av sidorna i en triangel, delar de båda övriga sidorna i samma förhållande.

Bevis: Allt du behöver veta för att utföra beviset är att arean av en triangel ges av $$A=\frac{b\cdot h}{2}$$

där $b$ är bredden och $h$ är höjden i triangeln. Jämför tre areor med varandra!

1. Gör en triangel $poly1=\bigtriangleup AED$ och en triangel $poly2=\bigtriangleup BED$. Låt $poly1$ och $poly2$ beteckna trianglarnas areor. Vad är förhållandet mellan $poly1$ och $poly2$? Motivera ditt svar!

2. Gör en triangel $poly3=\bigtriangleup DEC$. Vad är förhållandet mellan $poly3$ och $poly1$? Motivera ditt svar!

3. Vad är förhållandet mellan $poly3$ och $poly2$? Motivera ditt svar!

4. Visa att $\dfrac{a}{b}=\dfrac{AB}{DE}$!

Topptriangelsatsen

Som en följdsats till transversalsatsen får man:

Topptriangelsatsen: En transversal som är parallell med en sida i en triangel, avskär en topptriangel som är likformig med den ursprungliga triangeln.

Bevis, Topptriangelsatsen:

Visa först att motsvarande vinklar i de två trianglarna är lika (kongruenta).

Visa sedan att $$\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}$$

Drag ännu en parallelltransversal

och visa sedan att $$\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}=\frac{AB}{DE}$$

Tre fall som ger likformighet

Första likformighetsfallet, sida-vinkel-sida (SVS) Om två sidor i en triangel är proportionella mot två sidor i en annan triangel och om mellanliggande vinklar är lika stora, så är trianglarna likformiga.

Bevis

Placera punkten $G$ så att $AG=DE$.
Drag $GH$ så att $GH$ blir parallell med $BC$.

Nu gäller det att $\bigtriangleup AGH∼\bigtriangleup ABC$.

Visa att $AH=DF$!

Då blir $\bigtriangleup AGH≅\bigtriangleup DEF$ enligt kongruensfallet sida-vinkel-sida och beviset är klart.

Bevisen för de andra två fallen är snarlika.

Andra likformighetsfallet, sida-sida-sida (SSS) Om de tre sidorna i en triangel är proportionella mot sidorna i en annan triangel så är trianglarna likformiga.

Tredje likformighetsfallet, vinkel-vinkel-vinkel (VV) Om vinklarna i en triangel är lika med motsvarande vinklar i en annan triangel så är trianglarna likformiga.
Observera att det räcker att två vinklar är lika (varför?).

Bisektrissatsen

Ladda GeoGebra-arbetsblad

Sats: I triangeln $\bigtriangleup ABC$ dras en bisektris vid $B$. Bisektrisen skär $AC$ vid en punkt $D$. Enligt bisektrissatsen är:

$$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD}$$

Bevis: Dra en linje parallell med $AB$ genom $C$. Låt $E$ vara skärningspunkten mellan den nya linjen och bisektrisen. Förklara varför:

1. $\angle ABD = \angle CED$

2. triangeln $\bigtriangleup BCE$ är en likbent triangel, och således varför $BC=CE$.

3. $\angle BDA = \angle CDE$

4. $\bigtriangleup ABD \sim \bigtriangleup CED$

5. $\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{CE}{CD}$

6. $\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{CD}$

Övningar

Övning 1

Höjder i trianglar

$AC$ är parallell med $EF$. $AB$ är parallell med $DF$. Höjderna $h$, $h_1$, $h_2$ och $h_3$ är de vinkelräta höjderna i respektive triangel. Bevisa det du ser!

Ladda GeoGebra-arbetsblad

Övning 2

Mittpunkter på fyrhörning

De blå punkterna är mittpunkter på respektive sida. Bevisa det du ser!

Ladda GeoGebra-arbetsblad