Gränsvärden

Gränsvärde när x går mot oändligheten

Man kan på ett intuitivt sätt förstå att då \(x\) blir större och större så blir 1\(/x\) mindre och mindre. Gränsvärdet av 1\(/x\) när \(x\) går mot oändligheten är noll. Detta skrivs så här:

\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}=0\]

"lim" är en förkortning av det latinska ordet limes (vilket betyder gräns). "lim" skall uttalas limes. Notera att ett likhetstecken används, gränsvärdet är lika med noll.

Ett annat sätt att skriva gränsvärden på är:

\[\frac{1}{x}\rightarrow 0 \text{ då } x\rightarrow \infty \]

Här används istället pilar, 1\(/x\) är aldrig lika med noll, men det går mot noll.

Blanda inte "lim" och pilar, eller uttryck och likhetstecken; välj en av formerna ovan!

I det allmänna fallet kallar vi gränsvärdet \(A\), och skriver det som

\[\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=A \]

Den exakta gränsvärdesdefinitionen ingår inte i kursplanen. Informellt innebär denna att värdet på \(f(x)\) kan komma godtyckligt nära \(A\) om vi bara gör \(x\) stort nog.

Horisontella asymptoter

Om en funktion \(f(x)\) har gränsvärdet \(A\) då \(x\) går mot oändligheten så kommer grafen av \(f(x)\) att närma sig linjen \(y=A\). Linjen \(y=A\) är en horisontell asymptot till \(f(x)\).

Övning 1

Rita upp grafen till följande funktioner och avgör om de har en horisontell asymptot då \(x\rightarrow \infty\).

1. \(\displaystyle{ f(x)=\frac{3x^3-x+1}{2x^3+2x^2} }\)
2. \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1-2x}{1+2x} }\)
3. \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1-2x}{1+2x^2} }\)
4. \(\displaystyle{f(x)=\frac{1+2x^2}{1+2x} }\)
5. \(\displaystyle{f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^3+x^2+x+1} }\)
6. \(\displaystyle{f(x)=\frac{4x^4+x^3}{5x^4+x^2+1} }\)
7. \(\displaystyle{f(x)=2+\frac{\sin x}{x} }\)
8. \(\displaystyle{f(x)=2+\frac{x}{\sin x} }\)
9. \(\displaystyle{f(x)=2+\frac{x}{2+\sin x} }\)
10. \(\displaystyle{f(x)=2+\frac{1}{\sqrt{x}-100\cos x} }\)

Kan man bestämma horisontella asymptoter till en rationell funktion (vad är en rationell funktion) utan att använda någon elektronisk apparat?

Kan du lista ut gränsvärdena 7-10 utan att rita graferna?

Gränsvärden när x går mot a

Funktionen

\[f(x)=\frac{x^2+4x-12}{x^2-2x} \]

är inte definierad då \(x=2\), den har emellertid ett gränsvärde då \(x\rightarrow 2\), gränsvärdet är \(4\). Vi skriver detta på följande vis

\[\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+4x-12}{x^2-2x} = 4 \]

I det här fallet är det enkelt att bestämma gränsvärdet utan att rita grafen

\[\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+4x-12}{x^2-2x} = \lim_{x\rightarrow 2} \frac{(x-2)(x+6)}{x(x-2)} = \lim_{x\rightarrow 2} \frac{x+6}{x} =\frac{2+6}{2}=4\]

Oändligheten som gränsvärde, vertikala asymptoter

Uttrycket \(1/x^2\) blir större och större då \(x\) närmar sig noll. Detta kan skrivas som:

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}=\infty\]

Trots skrivsättet ovan, brukar inte oändligheten räknas som ett gränsvärde eftersom oändligheten inte är ett tal (såvida man inte definierar den som ett tal, se Extended real number line).

Grafen till funktionen \(f(x)=1/x^2\) närmar sig linjen \(x=0\) då \(x\rightarrow 0\), linjen \(x=0\) är en vertikal asymptot.

Notera att detta gäller inte generella funktioner. Se exempelvis övning 1 nedan.

Låt

\[f(x)=\frac{x^2-3}{x^2+2x-8} \]

Nämnaren antar värdet noll då \(x=2\) och då \(x=-4\). Funktionen har två vertikala asymptoter.

Man kan närma sig värdet \(x=2\) från två håll, antingen är \(x\lt 2\) eller så är \(2\lt x\). För att ett gränsvärde skall existera måste gränsvärdena från de två hållen vara samma. I detta fall finns alltså inget gränsvärde då \(x\) närmar sig två, inte ens oändligheten. Däremot har funktionen en vertikal asymptot. Man kan markera att ett uttryck har olika gränsvärden beroende på om man närmar sig ett värde från höger eller vänster. Man använder antingen ett + (\(x\) är större än) eller ett - (\(x\) är mindre än).

\[\lim_{x\rightarrow 2^+} \frac{x^2-3}{x^2+2x-8} = \infty \]

\[\lim_{x\rightarrow 2^-} \frac{x^2-3}{x^2+2x-8} = -\infty \]

Svåra gränsvärden

I vissa fall kan man använda sig av sunt förnuft för att bestämma gränsvärden:

\[\frac{1}\infty = 0 \hspace{1 cm} \frac{1}{0}=\infty \hspace{1 cm} 1+\infty=\infty \hspace{1 cm} 2\cdot \infty = \infty\]

(Skriv inte så där ↑ på ett prov)

I andra fall är det svårare:

\[\frac{\infty}\infty = ? \hspace{1 cm} \frac{0}{0}=? \hspace{1 cm} \infty-\infty=? \hspace{1 cm} 0\cdot \infty = ?\]

Övning 2

Rita grafen till följande funktioner och bestäm gränsvärdet, om det existerar.

1. \( \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\sin\left( \frac{1}{x}\right)} \)
2. \( \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} x \cdot \sin\left( \frac{1}{x}\right)} \)
3. \( \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} } \)
4. \( \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos x -1}{x} } \)

Talföljder

En talföljd är en funktion med de naturliga talen \(\mathbb{N} \) som definitionsmängd.

En talföljd kan skrivas så här \(a_0,a_1, a_2, \ldots \) eller så här:

\[(a_n)_{n=0}^\infty \]

Gränsvärdet till en talföljd skrivs så här:

\[\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=A \]

Övning 3

Använd en glidare för att representera \(n\).

Låt glidarens bredd vara 500. Bestäm sedan förjande gränsvärden, om de existerar:

1. \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}1^n}\)
2. \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}0.99^n}\)
3. \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}1.01^n}\)
4. \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}\left( 1+\frac{1}{n}\right)}\)
5. \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n}\)

Gränsvärde av sin(x)/x, bevis

Man kan enkelt bestämma gränsvärdet

\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} \]

numeriskt. Skall man bevisa vad gränsvärdet är, måste man använda geometri.

För att gränsvärdet skall bli ett enkelt tal, måste man använda radianer för att mäta vinklar, detta är anledningen till att grader aldrig används då man håller på med matematisk analys. Detta gränsvärde används nämligen då man deriverar de trigonometriska funktionerna.

Ladda GeoGebra-arbetsblad

Övning 4

Med beteckningar som i arbetsbladet ovan:

Bestäm areorna av trianglarna \(\Delta OAP\), \(\Delta OAB\) och arean av cirkelsektorn \( OAP \). Uttryck dessa areaor med hjälp av \(\alpha \), \(\sin (\alpha)\) och \(\cos (\alpha)\).

Använd olikheterna \(\Delta OAP \lt OAP \lt \Delta OAB \) till att bestämma gränsvärdet

\[\lim_{\alpha \rightarrow 0}\frac{\alpha}{\sin{\alpha}} \]

Arrangera sedan om olikheterna för att bestämma gränsvärdet

\[\lim_{\alpha \rightarrow 0}\frac{\sin \alpha }{\alpha} \]