Trigonometriska satser
Ett standardsätt att beteckna sidor och vinklar i en triangel är att kalla vinklarna för \(A,B,C\) (precis som hörnen i GeoGebra). Beteckna sedan sidan mitt emot en vinkel med samma bokstav som vinkeln men med liten bokstav.
Areasatsen
Om man känner till två sidor i en triangel och vinkeln mellan dem, kan man använda areasatsen för att beräkna arean.
Sinussatsen
Genom att använda areasatsen kan man härleda följande likheter:
\[b\sin A = a\sin B \hspace{1cm} c\sin B = b\sin C \hspace{1cm} c\sin A =a \sin C \]
Efter omskrivning kan dessa skrivas som sinussatsen på två olika sätt.
\[\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}\]
eller
\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\]
Cosinussatsen
I appleten ovan är de röda trianglarna kongruenta. Den blå arean i vardera heptagon (polygon med sju hörn), är den area som blir kvar då man subtraherar arean av de tre trianglarna från heptagonens area. Den blå arean är därför densamma i bägge heptagonerna. Detta ger oss att:
\[a^2+b^2=c^2+2ab\cos C\]
Parallellogramens areor förklaras av bilden nedan.
Genom att dra i punkten A så att triangeln blir rätvinklig, ser man att Pythagoras sats är ett specialfall av cosinussatsen.
I appleten ovan är triangeln spetsvinklig (alla vinklar är spetsiga). I appleten nedan är triangeln trubbvinklig (en vinkel är trubbig).
Parallellogramens areor förklaras av bilden nedan.
Från symmetrin får vi tre varianter av cosinussatsen.
\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\]
or
\[b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\]
or
\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\]
Två fall
Genom att använda sinussatsen eller cosinussatsen, kan man bestämma en okänd sida eller vinkel i en triangel.
I vissa fall finns det två möjligheter för den okända sidan/vinkeln. I appleten nedan visas detta för sinussatsen. Samma situation uppträder som två lösningar till en andragradsekvation då man använder cosinussatsen.
referens:
Geometriskt bevis av cosinussatsen från Wikipedia - Law of cosines
by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License